Presentazione:

Il corso intende introdurre alcuni aspetti classici della toria degli spazi di Sobolev e delle sue applicazioni alle equazioni alle derivate parziali lineari.

Spazi di Sobolev: definizione di derivata debole e proprietà, definizione di spazio di Sobolev e sue proprietà funzionali, una caratterizzazione delle funzioni di Sobolev, definizione e prime proprietà degli aperti regolari, Teorema di prolungamento, Teroemi di densità delle funzioni regolari in spazi di Sobolev, Teoremi di Fredrichs e di Meyers e Serrin, Regola di Leibnitz, Teorema di Marcus-Mizel, Teorema del modulo e sue conseguenze, Teorema del cambiamento di variabile, richiami sulle proprietà topologiche delle immersioni, prima immersione di Sobolev con ontroesempi vari e principali conseguenze del teorema di Sobolev nel caso scalare, introduzione dell'esponente critico di Sobolev e prime proprietà, Lemma di Gagliardo per p=1, Lemma di Gagliardo per p>1, Teorema di Sobolev, Gagliardo e Nirenberg, con conseguenze e controesempi, Teorema di Morrey, definizione e commenti generali sulle immersioni compatte, Teorema di Rellich-Kondrachov, con commenti e controesempi notevoli, cenno della disuguaglianza di Trudinger.

Lo spazio di Sobolev W₀^1,p(Ω): definizione, prime proprietà, conseguenze delle immersioni di Sobolev, la disuguaglianza di Poincarè, con implicazioni e controesempi, costruzione dello spazio duale di H₀¹(Ω), l'operatore Laplaciano come elemento del duale di H₀¹(Ω), il teorema di rappresentazione,

Operatori ellittici L del secondo ordine in foma della divergenza e non: condizioni per l'equivalenza delle due forme, efinizione di ellitticità di L in un punto, in tutto Ω e di uniforme ellitticità, problema di Dirichlet omogeneo (D) e dDefinizione di soluzione debole, continuità in H₀¹(Ω) della forma bilineare B associata all'operatore L e del funzionale lineare associato alla forza esterna f di L²(Ω) in (D), il Teorema di Lax-Milgram, la disuaguaglianza di Garding, esempi e commenti generali per le applicazioni a operatori ellittici L del secondo ordine in forma della divergenza, sottocasi notevoli della disuguaglianza di Garding, primo teorema di esistenza e unicità di soluzioni deboli, l'operatore lineare Lµ come isomofirsmo tra H₀¹(Ω) e il suo duale H^-1(Ω), Il caso μ<γ, definizione, determinazione esplicita in alcuni casi canonici e prime proprietà degli ggiunti formali per operatori uniformemente ellittici L del secondo ordine in forma della divergenza e alternativa di Fredholm per tali operatori, eEsistenza, unicità e dipendenza della soluzione debole dal dato f attraverso lo spettro reale di L, teoremi di regolarità interna e fino al bordo H², superiore e infinita delle soluzioni deboli di Lu=f, pricipio di massimo debole per operatori ellittici generali, Lemma di Hopf, pricipio di massimo forte per operatori ellittici generali, principi di confronto e di massimo debole per soluzioni deboli, teorema di unicità, proprietà dell'inverso K di operatori ellittici simmetrici L a coefficienti regolari, autovalori di operatori ellittici simmetrici, Teorema dell'esistenza dell'autovalore principale e delle sue proprietà, teorema di Berestycki-Nirenberg-Varadhan, disuguaglianza di Harnack.

Problemi parabolici ai valori iniziali con condizioni di Dirichlet omogenee al bordo, coinvolgenti operatori uniformemente ellittici simmetrici L a coefficienti regolari: introduzione del problema, ipotesi generali e trasformazione di esso in un problema di Cauchy (C) in L²(Ω), teorema di generazione di un semigruppo contrattivo in L²(Ω), teorema di rappresentazione del semigruppo attraverso gli elementi della base (w_k)_k per L²(Ω) generata dall'operatore ellittico L, teorema di esistenza, commenti notevoli del caso non coercivo, principio di massimo debole per sottosoluzioni e soprasoluzioni classiche, disuguaglianza di Harnack, principio di massimo forte per sotto e soprasoluzioni classiche,

Problemi iperbolici ai valori iniziali con condizioni di Dirichlet omogenee al bordo, coinvolgenti un A-operatore uniformemente ellittico: costruzione della famiglia {S_t}_{t∈ R}, teorema di esistenza per soluzioni distribuzionali.

Determinazione di soluzioni esplicite per alcuni problemi ellittici, parabolici eiperbolici. Esercizi di riepilogo su alcuni argomenti del corso. Conseguenze notevoli dei principi di massimo per problemi con l'operatore di Laplace: Principio di massimo per il gradiente, analisi qualitativa e analisi asintotica nel caso parabolico.

Spazi di Sobolev di ordine superiore m>1: definizione e prime proprietà di derivate deboli di ordine superiore, definizione di spazi di Sobolev di ordine superiore, Teorema di completezza, separabilità e riflessività , Teorema di Meyers-Serrin, teoremi di immersione lemma fondamentale, il caso speciale p=1 e m=n, Teorema di Rellich-Kondrachov, il suo spazio duale, topologie deboli.

Prerequisiti: Concetti basilari dell'Analisi Funzionale di una Laurea Magistrale in Matematica

Esame:L'esame consiste di un colloquio orale con svolgimento congiunto di qualche esercizio critico. Durante l'anno saranno assegnati esercizi e problemi: le esercitazioni e la partecipazione attiva a tali esercitazioni farà parte della valutazione finale.

1. H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Universitext, Springer, 2011.
2. Dispense, distribuite durate e ezioni.