Presentazione:

Il corso intende introdurre alcuni aspetti recenti dell'analisi funzionale lineare, presentando problemi ed applicazioni che derivano da mondo fisico, biologico, chimico ed economico.

Spazi L^p(Ω): convergenza in misura, convergenza ed approssimazione, compattezza, convoluzione e approssimazione; Spazi di Hilbert: generalità, geometria degli spazi di Hilbert, operatori lineari, proiezioni, dualità, sistemi ortonormali completi, operatori aggiunti di Hilbert. Spazi normati e spazi di Banach: il Teorema di Hahn Banach e sue applicazioni; i teoremi di separazione; operatori aggiunti di Banach; spazi riflessivi; Teorema dell'Uniforme Limitatezza e sue applicazioni; forte e debole convergenza e applicazioni; il Teorema dell'Applicazione Aperta e il Teorema del Grafico Chiuso e applicazioni. Proprietà degli spazi di Banach riflessivi. Topologie deboli: spazi lineari topoligici localmente convessi; dualità e topologie deboli; il Teorema Bipolare; le topologie debole e debole stella; il Teorema di Banach-Alaoglu; operatori limitati e topologie deboli; il Teorema di Krein-Milman; spazi normati uniformemente convessi e loro geometrie. Spazi di Sobolev W^1,p(Ω): prime proprietà, immersioni di Sobolev, Teorema di Rellich-Kondrachov, Disuguaglianza di Poincaré, gli spazi W^1,p₀(Ω).

Prerequisiti: Analisi Matematica 3

Esame:L'esame consiste di un colloquio orale con svolgimento congiunto di qualche esercizio critico. Durante l'anno saranno assegnati esercizi e problemi: le esercitazioni e la partecipazione attiva a tali esercitazioni farà parte della valutazione finale.

1. H. Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazionis, Liguori, Napoli, 1990.
2. P. Cannarsa & T. D'Aprile, Introduzione alla teoria della misura e all'analisi funzionale, UNITEXT, Springer, 2008, xii+272 pp., BISBN: 978-88-470-0701-7.
3. L. Tartar, An introduction to Sobolev spaces and interpolation spaces, Lecture Notes of the Unione Matematica Italiana, 3, Springer, Berlin; UMI, Bologna, 2007, xxvi+218 pp., ISBN: 978-3-540-71482-8.